نمایش

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم – دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم – علم افشا

گام بگام ۳ فصل ریاضی یازدهم

یادآوری و تکمیل معادله خط در بسیاری از پدیده های جهان، رابطه خطی بین متغیرها به چشم می خورد.

بنابراین مطالعه تابع های خطی اهمیت ویژه ای پیدا می کند. در سالهای قبل با مطالبی در این زمینه آشنا

شدیم. در این فصل نکات دیگری را در این باره، مورد مطالعه قرار میدهیم .

کار در کلاس

نمی دانیم از هر دو نقطه متمایز، تنها یک خط عبور می کند؛ بنابراین

: ۱ الف) با داشتن مختصات . دو نقطه از یک خط باید بتوان معادله آن را به دست آورد. ب) با داشتن معادله یک

خط می توان با مشخص کردن . دو نقطه از خط، نمودار آن را در دستگاه محورهای مختصات رسم نمود.

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

و نمودار خطوط با معادلات زیر را در دستگاه محورهای مختصات مقابل رسم کنید : ۲ ۰ : ۳- ۲= :L ( ب ه ۱- ۱
۱+ L
: g =
۳s (الف ا ۳- لا |

۲-= L : r (ت این خط خاص است محور طول ها را در نقطه ی (۲ , ۰ ) قطع می کند و موازی محور ها است.

۱= L : y (پ این خط خاص است محور عرض ها را در نقطه ی (۰ ,

۰) قطع می کند و موازی محور X ها است , ۲ و ۳
۲= L
: T + ۲y (ث ه ا لا

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دو خط ) و ذرا عمود بر هم رسم کرده ایم . شیب آنها را مورد توجه قرار می دهیم.

. ۳ – ۴ – ۹۴ – m = p : شیب خطا گذرا از نقاط A و P ۲- ۳ – ۱ – m

= P – VB : شیب خط ۸ گذرا از نقاط B وP
و
۲
۲ –
p – F
۲-۱
Xp – XR

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

و حاصل ضرب شیب های دو خط را به دست می آوریم : ۱- = (۲۰) (ت) = mm می بینیم که شیب ها ، قرینه معکوس یکدیگرند .

و اگر خط دلخواه دیگری مثل T عمود بر L را در نظر بگیریم، این خط حتما با خط ۵ موازی است؛ پس شیب خط

T برابر عدد …۲۰… خواهد بود.

بنابراین می توان گفت شیب هر خط عمود بر برابر قرینه معکوس شیب خط را خواهد بود. این مطلب در حالت کلی درست است؛ یعنی

دو خط غیر موازی با محورهای مختصات بر هم عمودند، هرگاه حاصل ضرب شیب های آنها برابر (۱-) باشد؛

یعنی اگر شیب های دو خط m و n باشد،

آنگاه شرط عمود بودن آنها آن است که ۱- =’mm. به عبارت دیگر

شیب هر کدام ،
قرینه معکوس شیب دیگری باشد .

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

کار در کلاس ص ۴

کار در کلاس

در هر قسمت شیب دو خط داده شده را به دست آورید و مشخص کنید که دو خط نسبت به هم چه وضعی

دارند. (موازی، عمود یا متقاطع غیر عمود؟) –

فاصله نقطه از خط اگر نقطه ای خارج خطا باشد، فاصله نقطه A تا خطا برابر است با طول پاره خطی که از ۴

عمود بر را رسم می شود. در اینجا می خواهیم با داشتن مختصات نقطه ۴ و معادله خط E این فاصله را محاسبه کنیم.

مثال : فاصله نقطه (۷ , ۵) را از خط L به معادله ۱۸= ۳g – ۴ به دست آورید حل : جون شیب خط را برابر است،

پس هر خط عمود بر آن دارای شیب و خواهد بود، معادله خط ۵ گذرنده از A و عمود بر ما را می نویسیم.

A: = r +h

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

درس دوم

تابع درجه ۲ و معادله درجه دوم
روش تغییر متغیر برای حل معادله در پایه دهم روش های مختلفی را برای حل معادله درجه ۲ آموختیم. یکی

از دلایل اهمیت این معادلات آن است که معادلات دیگری نیز وجود دارند که قابل تبدیل به معادله درجه دوم

اند؛ مانند معادلات گویا و گنگ که درس سوم به آنها اختصاص یافته است. در اینجا با روش تغیر متغیر برای حل

دسته خاصی از معادله ها آشنا می شویم که یک شیوۂ کارآمد برای حل انواع معادله است

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

مثال : معادله

مقابل را حل کنید. حل ؛ با وجود آنکه این معادله از نوع درجه ۴ است، می توان آن را به روش معادله درجه دوم

حل کرد. برای این کار به جای عبارت ، متغیر (مجهول) جدیدی مثل ما قرار می دهیم، به این کار تغییر متغیر

می گویم.
-۱۰ +۹==
= ۱ –

مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه ۲ گاهی به جای مقدار دقیق ریشه های یک معادله درجه ۲،

تنها مجموع و حاصل ضرب ریشه ها اهمیت دارد که در این صورت بدون حل

معادله می توان این مقادیر را به دست آورد. معمولا مجموع دو ریشه را بالا و حاصل ضرب آنها را با P نمایش

میدهیم؛ یعنی اگر هو
ریشه های معادله باشند : $=۳) +H و P =1]).

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

اگر
و | ریشه های معادله (
( a
a + b + c = باشند، آنگاه : = P = 0 . 8 و ۵ = B
= s + )

تشکیل معادله درجه ۲ با استفاده از S و P گاهی برای حل یک مسئله، لازم است برای آن معادله ای

بنویسیم و سپس آن معادله را حل کنیم. در برخی موارد، این معادله درجه ۲ خواهد بود. مثلا می خواهیم با

مجموع و حاصل ضرب دو عدد، معادله درجه دومی بسازیم که آن دو عدد ریشه های معادله باشند. برای این

کار فرض می کنیم آن دو عدد (ریشه های معادله)، ۱) و ) باشند. معادله مورد نظر را می توان به شکل زیر

نوشت :
= = –
S2 + P =
a + B ) = HE = = )- ج ==( r
– B (-1)
ماکزیمم و مینیمم سهمی سهمی با ضابطه a

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

+ b + c = لا را در نظر می گیریم. از سال گذشته می دانیم که طول رأس این سهمی – = r است. الف) اگر

«د»، آنگاه دهانه سهمی رو به بالاست و به ازای – = . کمترین (مینیم) مقدار

سهمی به دست می آید. اب اگر >a، آنگاه دهانه سهمی رو به پایین است و به – = ۷ بیشترین (ماکزیمم) |

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

مقدار سهمی حاصل می شود.

مثال : ماکزیمم با مینیمم تابع با ضابطه ۲+۲+- = (۲) f را در صورت

وجود به دس آورید. حل : چون ۱- =a

منفی است، پس دهانه سهمی رو به پایین است و این سهمی ماکزیمم دارد. این تابع به ازای ۱= = :

بیشترین مقدار خود را خواهد داشت که برابر است با ۴=(۱)f تذکر : همچنان که در شکل دیده می شود، در

این مثال نقطه (۱٫۴) رأس سهمی و نقطه ماکزیمم آن است. در این حالت منظور از مقدار ماکزیمم سهمی،

عرض این نقطه، یعنی ۴ است. مثال : یک پنجره به شکل مستطیلی است که در بالای آن یک مثلث

متساوی الاضلاع قرار گرفته است،

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

اگر محیط پنجره ۴۳ باشد، ابعاد مستطیل را طوری بیابید که پنجره حداکثر نوردهی را داشته باشد. حل : با

توجه به شکل داریم : -۲= د ۴=۲+۳ د ۴= محیط پنجره از آنجا که مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ضلع تل

برابر ۳۲ است (چرا؟)، می توان
نوشت :
۳ : مساحت پنجره
S = .g

به جای و معادل آن را بر حسب د قرار می دهیم .
–
r
–
r
=

این تابع دارای ماکزیم است (چرا؟) و بیشترین مقدار آن به ازای
– = حاصل می شود. |
=
پس این تابع ماکزیمم دارد
(m)۰ / ۵۹ = (
۲ – ۳ – ۲ – ۳ / ۹۴ = لا
کار در کلاس

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

و تعیین کنید کدام یک از سهمیهای زیر ماکزیمم دارند و کدام یک مینیمم . سپس ماکزیمم با مینیمم هر یک را مشخص کنید ،

۳+(۱+ r
) = – ( r .) و (الف

و یک ماهیگیر می خواهد در کنار رودخانه محوطه ای مستطیل شکل را فنس کشی کند. او تنها هزینه ۱۰۰

متر فنس کشی را در اختیار دارد. ابعاد مستطیل را طوری تعیین کنید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن

گردد.

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

راهنمایی ؛ ۲ – ۱۰۰= د ۱۰۰=۲+ مساحت مستطیل را به صورت تابعی بر حسب . بنویسید و ماکزیمم آن را

بیابید.)

S – X(۱۰۰-۲۸) = -rx۲+۱۰۰x S – xy
= = ۲۵ = y = 150-۵۰-۵

= = a=-۲۷۰,x = s= ۲۵*۵۰ = ۱۲۵۰ m”

صفرهای نابع درجه ۲ همان گونه که می دانیم، نمودار هر تابع درجه دوم، یک سهمی است. به عنوان مثال

فرض کنیم فوتبالیستی توپی را با زاویه ۴۵ نسبت به سطح زمین و با سرعت اولیه m
/ s
۲۰ شوت کند. معادله مسیر حرکت این توپ، یک تابع درجه دو با ضابطه + = ا است که نمودار آن مانند شکل

مقابل است. در این رابطه ۱ مسافت افقی طی شده و لا ارتفاع توپ از سطح زمین است

الف) حداکثر ارتفاع توپ را به دست آورید.
ارتفاع توپ m
۴۰ =

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

ب) به نظر شما حداکثر مسافت افقی طی شده توسط توپ چقدر است؟

برای آنکه طول نقاط برخورد نمودار این تابع با محورها را به دست آوریم، باید قرار دهیم ” = .

| == = = = = = = = =

این نقاط را روی نمودار نشان دهید و توضیح دهید که این اعداد از نظر فیزیکی چه معنایی
میدهند؟

طول نقطه ی (۹۵) زمان شروع پرتاب و طول نقطه ی (۴۵

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

, ۰ ) زمان برخورد گلوله با زمین است

نقاط برخورد نمودار یک تابع مانند و با محور ها را صفرهای تابع می نامیم که در واقع ریشه های معادله = = (۷) گر هستند. به عبارت دیگر، در این نقاط مقدار تابع
برابر صفر است.

همچنین عرض نقطه برخورد نمودار هر تابع مثل f با محور ها، همان (۰) است. به عبارت دیگر در تابع درجه ۲ باضابطه f

( a ) = an + ba + c ، عدد ثابت و نشان دهنده محل برخورد نمودار آن با محور و هاست. به عنوان مثال، به شکل مقابل توجه کنید. /|

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

مثال : معادله سهمی مقابل را بنویسید . حل : با توجه به شکل دیده می شود که نمودار تابع، محور افقی را

در نقاطی با طول های ۱ و ۲ قطع کرده است. پس ضابطه آن به صورت زیر است :
۹ = ۴ (۲-۱) (۲ -۲)

با توجه به نمودار، مقداره را به دست می آوریم.

۲= و = (۲-۱۰-۰ )a = ۴ نقطه (۰٫۴) روی سهمی است ۴+ ۶ – ۲۲ =
y = ۲r – ۱ ) ( . r – ۲ ) = y
ډ

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

و هرگاه نمودار تابع ( ۴) f
( x ) = a + b + c را داشته باشیم، می توانیم به کمک آن علامت ضرایب ) ، او را مشخص کنیم. به عنوان

مثال نمودار تابع ). از مجموعه توابع داده شده زیر را در نظر میگیریم

: – دهان، سهمی رو به بالاست؛ پس له مثبت است – نمودار تابع ۴ محور ها را در قسمت منفی ها قطع کرده

است؛ پس ) منفی است. – راس سهمی در ربع چهارم قرار گرفته که در آن مقادیر مثبت اند؛ پس

دا د < توجه داریم که با توجه به نمودار، مجموع دو ریشه عددی مثبت است (چرا؟)

و از این مطلب هم می توان منفی بودن علامت ا را نتیجه گرفت.

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

جواب چرا : زیرا فاصله ریشه مثبت از مبدأ بیش تر از فاصله ریشه منفی از مبدأ است

به عبارتی قدر مطلق ریشه مثبت بزرگ تر از قدر مطلق ریشه منفی است.
۲

درس سوم

معادلات گویا و معادلات رادیکالی معادلات گویا مستطیل طلایی، مستطیلی است که نسبت مجموع طول و

عرض آن به طول مستطیل برابر با نسبت طول به عرض آن باشد.

به عبارت دیگر اگر طول و عرض مستطیل به ترتیب ۳ وو باشند داشته باشیم : = * .

نسبت طول به عرض این مستطیل را نسبت طلایی می گویند.

مثال : عرض مستطیل را ۱=p در نظر می گیریم تا مقدار نسبت طلایی را محاسبه کنیم:
۱

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

با ضرب دو طرف این معادله در تلا می توان آن را از حالت کسری خارج کرد (یا به طور معادل در اینجا حاصل

ضرب طرفین را مساوی حاصل ضرب وسطین قرار می دهیم) :
و = ۱- – ” = ۱+

-= , ۵=۴qc- ا = A غیر قابل قبول ۵-۱- || عدد ۵+۱ به عدد طلایی معروف است که مقدار تقریبی آن ۱
/

۶۱۸ می باشد؛ این عدد از دوران باستان مورد توجه بوده است. از کلاس اول ابتدایی که با معادلاتی به شکل

۵-۲+] مواجه شدیم، تقریبا همیشه درگیر حل معادله بوده ایم! گاهی به معادلاتی مانند = برمی خوریم که

در آنها مجهول در مخرج یک عبارت گویا (کسری با صورت و مخرج چند جمله ای) قرار دارد. چنین معادلاتی را

معادلات گویا می نامیم. همان طور که دیدیم :

برای حل یک معادله گویا می توان دو طرف تساوی را پس از تجزیه کردن مخرجهاء در کوچکترین مضرب

مشترک (کم م) مخرجها ضرب کرد تا معادله از شکل کسری خارج شود. جواب های به دست آمده نباید مخرج کسرها را صفر کنند و این جواب ها باید در معادله اولیه صدق کنند

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

وخط یک متروی تهران به طول ۶۰ کیلومتر، میدان تجریش را به فرودگاه بین المللی امام خمینی (ره) متصل

می کند. برای انجام یک آزمایش، قطاری مسیر شمال به جنوب این خط را با سرعت ثابته کیلومتر بر ساعت و

بدون توقف در ایستگاهها طی می کند. اگر در مسیر جنوب به شمال از سرعت متوسط قطار km

/ h

۱۰ کاسته شود، زمان بازگشت نیم ساعت طولانی تر از زمان رفت خواهد شد. مطلوب است محاسبه طول

زمان رفت و زمان برگشت این قطار. الف) توضیح دهید، چرا زمان رفت از رابطه به دست می آید؟ می دانیم

مسافت طی شده برابر است با سرعت متوسط ضرب در زمان یعنی ۱٫ x
=

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

v در نتیجه اگر زمان رفت را با را نمایش دهیم داریم :
= راج = ا = ( x
= V .

t ب) عبارتی بر حسب » بنویسید که زمان برگشت را نشان دهد . زمان بازگشت را با ما نمایش می دهیم و

می دانیم که از سرعت قطار km
/ h
۱۰ کاسته شده است پس داریم :
=(x-1)xty2tr
پ) معادله و
..
. را توضیح دهید.

با توجه به این که زمان بازگشت نیم ساعت ( ساعت ) طولانی تر بوده است پس داریم 😐

ت) طرفین این معادله را در کمه مخرجها ضرب کنید تا به یک معادله درجه دوم تبدیل شود. کمم مخرج ها :

(۱-۲۷۷ است . در نتیجه :

۶۰ = ۲۷(۷ – ۱۰) ۶ + ۲۷۷ – ۱۰)
| ۲۷۷ – ۲

۱۲۰۷ = ۱۲۰۷ – ۱۲۰۰ +۷۲ -۱۰۷

۱۰۷ = ۴۹۰۰ = ۴ = = ۱۲۰۰ – ۱۰۷ – ۲د و ۳۰- = v

v = ۴۰ km / h

دانلود کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

دانلود رایگان کتاب گام به گام ۳ فصل اول ریاضی یازدهم

, ث) از حل معادله حاصل، سرعت قطار در مسیر رفت را بیابید و به کمک آن زمان رفت و

برگشت قطار را به دست آورید. سرعت قطار در مسیر شمال به جنوب رفت km

/ h ۴۰ است ، ( البته سرعت برگشت با توجه به علامت منفی km
/ h
۳۰ است .)
زمان رفت ; =
۱ / ۵h
t =
و زمان برگشت : h
۲=
=
= ۲

و..