نمایش

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر – دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر – علم افشا

ریاضیات مهندسی
سریها، انتگرالها و تبدیلات فوریه معادلات با مشتقات جزئی
توابع مختلط

عبداله شید فر استاد دانشگاه علم و صنعت ایران

فصل اول : سریها، انتگرالها و تبدیلات فوریه

۱۰۱, صربهای فوریه

۲۰۱. سری فوریه دوگانه

۳۱. انتگرال فوریه

۴۰۱، صورت مختلط سری و انتگرال فوریه

۵ . ۱. تبدیلات فوریه ۶۰۱ مسائل حل شده

۷ . ۱. تمرینات

۸ . ۱ تمرینات متفرقه

فصل دوم: معادلات با مشتقات جزئی

۱۰۲. مقدمه

۲۰۲، تمرینات

۳۰۲. مسائل با مقادیر اولیه و کراتهای

۲۰۲ حل دالامیر معادله موج

۲، ۵ تمرینات

۶٫۲ مسئله گرما

۷ . ۲. تمرینات

۸۰۲. مسئله انتقال حرارت برای یک میله با طول نامتناهی

۹۲. تمرینات

۱۰ . ۲ حل مسئله موج در فضای دوبعدی

۱۱ . ۲ . تمرینات

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

۱۲ . ۲. حل معادلات لاپلاس و پواسن

۱۳ . ۲ . حل مسئله لاپلاس برای یک کره

۱۴۰۲، حل مسئله ارتعاش یک ناحیه مستدیر

۱۵۰۲, حل مسائل معادلات با مشتقات جزئی به کمک تبدیلات فوریه

و تبدیلات لاپلاس

۱۶۰۲. مسائل حل شده

۱۷ . ۲ , تمرینات متفرقه

فصل سوم: توابع مختلط

۱۰۳. اعداد مختلط

۲ . ۳. تمرینات

۳۳. نواحی در صفحه مختلط

۲ . ۳. توابع مختلط

۵۰۳ توابع همساز

۶ . ۳ مسائل حل شده

۷ . ۲. تمرینات

۸۰۳ برخی توابع مقدماتی، نگاشتهای همدیم

۹۰۳، مسائل حل شده

۱۰ . ۳ . تمرینات

فصل چهارم : انتگرال گیری از توابع مختلط

۱ . ۴. انتگرالگیری روی خط در صفحه مختلط

۲ . ۴. برخی دیگر از خواص انتگرال روی خط مختلط

۳۰۴. سریهای توائی، سریهای تیلور و لوران

۴ . ۴. محاسبه مقادیر مانده ها

۵ . ۴. محاسبه انتگرالهای حقیقی به کمک انتگرالگیری به روش مختلط

۶ . ۴ مسائل حل شده

۷۰۴. تمرینات

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

۸۰۴ مسائل متفرقه مراجع جدولهای تبدیلات کسینوس فوریه، تبدیلات سینوسی فوریه و تبدیلات فوریه

فصل اول

سریها، انتگرالها و تبدیلات فوریه

۱ . ۱. سریهای فوریه یکی از ابزار پر قدرت در حل مسائل ریاضیات کاربردی همچون حل مسائل معادلات با |

مشتقات جزئی نمایش توابع به صورت یک سری فوریه است. سری فوریه، یک سری مثلثاتی، مثلا به صورت

+ by six) 1.6
) + (a, CCN
۴٫ + ۴ ,coS, I + b sirf

است که در آن ضرایب ,او و ها رو با و به کما ر ا و غیره به روش خاصی محاسبه می شوند.

ما بنا نداریم که یک بحث تئوری قوی در مورد سریهای نوریه را در اینجا پایه ریزی کنیم بلکه مایل هستیم تا آنجا

با مسائل مربوط به آن درگیر شویم که نیازهای کاربردی ما را در بحثهای آینده برآورده کند و در ضمن ارائه

مسائل متنوع بحثهای جالبی از نظر تئوری تا حد نیاز برای آشنائی با مطالب نظری ارائه خواهیم کرد. برای

وارد شدن به بحث مربوط به سری فوریه تابع >> ;( y

= f ( x با دوره تناوب ۲۴ = ظرا در نظر میگیریم و بنا داریم این تابع را | به صورت سری مثلثاتی

(۱)
+ (د ۲
x + b , sin * ) + ( a , cos * * + b , sin
a + ( a os
f ( x ) =

)
(acos * *+by sin ”
f(x) = a +

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

بنویسیم یعنی ضرایب , a

, b , ( a b ) , a ) و … را طوری بیابیم که سری فوق به ازای هر مقدار به سمت تابعی از همگرا باشد. در هر

صورت در این مرحله از کار فرفی میکنیم شرایط لازم برای کاربرد قضایانی که در محاسبه این ضرایب لازم

است برقرار باشند. فضیه مربوط به همگرائی را بعد ارائه خواهیم کرد برای محاسبه ضرایب له ، مثلا یک

ضریب دلخواه #ه، طرفین (۲)را در Cos

” x ضرب میکنیم و با انتگرالگیری از طرفین نتیجه حاصل در فاصله تا می یابیم .
مهر ” as cos

* * + b sin ) con
) =
و = f
( x ) con mn = ar و

حال فرض می کنیم شرایط لازم برای تساوی بین انتگرال سیگما با سیگمای انتگرال برقرار باشد آنگاه با

توجه به تعامد دنباله توابع ۱= sin

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

” x , cos ” x ) n ) یعنی با توجه به نساربهای

LI: Mm
: – ” س و و
a = .
| as a = . ,
می یابیم :

ما = on (ع) کی و از آنجا .. و ۳ و ۲ و ۱ و ۰ = cos

* xdx ; m و همینطور برای محاسبه ضرایب و مثلا ضریب دلخواه با با ضرب طرفین (۲) در sin mix و انتگرال

گیری در فاصله تا می یابیم

و ۳ و ۲ و ۱ = sin 2 sdk ; m (ع) و = t فرمولهای (۳) و (۴) به ازای هر مقدار صحیح و نامنفی از جمله به ازای

۳ بر قراراند. ضرایب ره و را حاصل از فرمولهای (۳) و (۴) به ضرایب اویلر موسومند و هر سری مثلثاتی به

صورت (۱) را که ضرایب آن ضرایب اویلر باشند مسری فوریه می نامیم. بنابراین سری فوریه تابع متناوب

<<l , p= ۲/
y = f(x);
عبارت است از
(۵)
.
+ b sin * )
(۱) = + (a cos *
.. و ۲ و ۱ و . = cos x dr
; n
۱
(۵)

– و ۲ و ۱ = R : عقد * sin (ع) و —

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

تاکنون مشاهده کردیم که هر تابع متناوب دارای سری فوریه است. ولی در مسائل کاربردی و در فصل بعدی

این کتاب نیاز داریم که تابع >>> ;(x) = ورا به صورت یک سری فوریه نمایش دهیم بدیهی است که این تابع به

علت متناوب نبودن دارای سری فوریه نیست ولی توابع متناوبی موجودند که سری فوریه آنها در فاصله اد که

بر (f
( x منطبق است. برای روشن شدن این موضوع چنین تابعی را که گسترش یا تعمیم (f

(
x می نامیم و به )نمایش می دهیم چنین تعریف میکنیم.

.<
.
f(x) = f(x)
۲ – م : .>> . ( f

( x ) = h ( x که در آن (*)/هر تابع دلخواهی است که در فاصله – تا صفر تعریف شده است. بدیهی است که

(۸) دارای سری فوریه بوده و سری فوریه آن در فاصله !>i>. با ( برابر است. سری فوریه (۲) گرا سری فوریه

متناظر با (x) می نامیم. بدیهی است که تابع >> ;( y

= f ( x دارای بیشمار سری فوریه متناظر است و ما بین این سریهای فوریه متناظر، در سری فوریه در مسائل

کاربردی از اهمیت بیشتری برخوردارند. این سریها به ترتیب از گسترشهای زوج و فرد (f ( x حاصل می

شوند. گسترش زوج تابع >> ;(f

( x را چنین تعریف می کنیم.

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

cr<!
,
f(x) = f(x)
برخی اوقات اتفاق می افتند که سری فوریه یک تابع در نقطه ای همگرا نبوده و یا به سمت مقدار تابع در این

نقطه همگرا نیست مثلا چنانچه در مثال ۱ مشاهده کردیم سری فوریه تابع ۲ = pو ۱ ۵۱- : = (f

( x به صورت

۲۶ (۱)** sin na

است. مقدار سری در ۱= x برابر صفر ولی مقدار تابع در این نقطه برابر واحد است. بدین جهت است که

بسیاری از مؤلفین از نماد – به جای نماد = در مسیرهای فوریه استفاده می کنند. هم اکنون در موقعیتی

هستیم که بتوانیم مقدار دقیق سری فوریه حاصل از یک تابع را در یک نقطه مفروض محاسبه کنیم و برای

نیل به این هدف تعاریف و قضایای زیر را می آوریم.

تعریف

۱. تابع sxsb
f ( x ) ;

= لارا پیوسته تکه ای نامند هرگاه فاصله {a

, b
را با
انتخاب
<
<I< … <

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

بتوان به تعدادی متناهی فاصله های جدا از هم افراز کرد به طوری که بر هر یک از این

فاصله ها پیوسته بوده و چنانچه از داخل بازه ها به سمت دو انتهای بازه میل کند و به سمت حدی متناهی

میل می کنند یا به عبارت دیگر در انتهای بازه ها دارای حدود چپ و راست متناهی باشد.

تعریف ۲، تابع ۸> >> ;(f ( x = لارا تکه ای همواره نامند هرگاه گبر (a

, b پیوسته تکه ای بوده و در نقاط داخلی زیر فاصله های مذکور در تعریف یک مشتقپذیر و در انتهای فاصله

های جز دارای مشتقات چپ و راست باشد قبل از بیان قضیه همگرایی قضیه زیر را ارائه می کنیم.

= تابعی پیوسته تکه ای باشد g ( x ) ; < rsb قضیه ۱ زلم ربمن – لیبگ). هرگاه
آنگاه

lim
S 8(x) sin ax dx = .
اثبات مینویسیم

wa – s’ores en este
(۱)
با تبدیل د به ۱ + x در انتگرال فوق می یابیم

= (۴)
۳” gr + 1 sin له عه
(۲)

با جمع طرقین (۱) و (۲) داریم

ma) = _ga, sin då de 5 * * y sin de de
m

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

حال طرفین تساوی را چنین می نویسیم

istar + 3 » stranet م + inalدرو را به مقصود بها ؟ – (۲۷

چنانچه (g ( xرا تابعی پیوسته فرض کنیم آنگاه (ع) راندار نیز خواهد بود. یعنی به ازای عدد ثابتی مانند M داریم g
( x ) | = M ] در نتیجه ” = irand فرع هی ۱ – ۱

de نور ۳ +۴ ما و همینطور
ء | الصفقات (۵۱۶ ما از اینرو

۱ grs) – g * 3) 14
۱I() is

نظر به اینکه (*) بر فاصله بسته (a , b] پیوسته است بنابراین (*) براین فاصله به طور یکنوا پیوسته خواهد

بود. در نتیجه به ازای هر عدد مثبت ۴ عددی مثل را طوری می توان انتخاب کرد که به ازای هر .حد, و به ازای

هر

|
| F(x) – gfx +
در نتیجه
ج=
> | (I ( a |

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

به این طریق قطبه به اثبات می رسد، نتیجه حاصل از قضیه فوق برای توابع پیوسته تکه ای نیز برقرار است.

برای این منظور کافی است قضیه را برای هر یک از فاصله های جزء فاصله

که بر آن پیوسته است تکرار کنیم.

قضیه ۲. هرگاه (f ( xبر فاصله بسته (۱ , ۳-تکه ای هموار و متناوب با دوره تناوب باشد آنگاه به ازای هر ۱
۲

f(x+) + f(x) ]
(a cos nt + b sin mur) =
+

که در آن مه و أضرایب اویلر و (+) و (-f ( xبه ترتیب برابر حدود راست و چپ تابع در
نقطه هستند.
اثبات. هرگاه فرض کنیم

(
( aq cos nur + b siri mur) پری
+ r
) = ۴

آنگاه با جایگزین کردن

f (t) siri nt dt

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

,
f f(t) Casni dl

به ترتیب به جای پر و پا می یابیم

( roromentairens + fo an el manner ه ش onu گ پ – (st
cosnt cosnx + sin ni sin ne di
+
Sk(x)=– S 10

قضیه ۴. فرض کنید (*) f بر ,, – ا پیوسته تکه ای و متناسب با دوره ۲۶ باشد آنگاه از سری فوریه (x) یعنی از

می توان جمله به جمله در هر فاصله انتگرالگیری کرد.

اثبات. در واقع باید ثابت کنیم

الله (
( aq cos ne + b si nus به هر
dc +

و بنابراین کانی است نشان دهیم

(a sin rib
– sin ra ) – ۲۰ ( corrb – cos via) =

= ها – (۶) می

نخست چنین قرار می دهیم

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

F(x) = (126) – a

نظر به اینکه پیوسته تکه ای است تا پیوسته خواهد بود و علاوه بر آن

F(x) = f(x) .

پیوسته تکه ای است. حال با توجه به اینکه متناوب، با دوره ۲۶ و f
( x ) dr
= .۴

داریم

( a
= FE
airFis ) + iro
ہے (fo ؟ + ۱ » ) – (۲۳ +Fle

بنابراین ۴ تابعی پیوسته و متناوب با دوره ۲ است که دارای مشتق پیوسته تکه ای می باشد. از این رو می

توان چنین نوشت

F(x) = 4 +
(A, Cos ne + B, sin ne)

. = وهو ما = B و بنابراینکه در آن

| F(x) = 4 +
da sin hr – by Cos na) |

بنا به تعریف (F ( x نتیجه می شود که

( a , sin nx – by CDs nus ه = ر
ft ) at x + 4
+ (

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

نظر به اینکه

at « ؟ – at « ؟ = a *
* f(x)dx= (0-0)+ + (sin nbtcos nb)
+ ( in nab cas na)

به علت همگرایی مطلق این سریها می توان چنین نوشت

د ده په usiner فی
۳
[an (sin nb – sin na) – bm (cos nb – cos na)

که سری حاصل از سری فوریه (پ) با جمله به جمله انتگرال گیری است.

مثال ۸ سری فوریه گسیلوسی متناظر با تابع مشتق گیری از آن سری فوریه تابع Cos x را بیابید.

>>.; f
( x
) = sinux را بیایید و با |
. = ا |

: ۱x cosnx dx = Y/\+(-V”); nel
s

S (x )casne de

۴٫

. = sin x com dr = ه

نظر به اینکه چرا به ازای

های فرد صفر است داریم

بنابراین با مشتفگیری می یابیم

” . ”

cost = .

دانلود کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

دانلود رایگان کتاب ریاضیات مهندسی – عبداله شید فر

مثال ۹, سری فوریه ۷>> سری فوریه تابع أمرا بیابید

;

= (x) را بیابید و با انتگرال گیری از سری حاصل

با انتگرالگیری می یابیم

= ۲ con + Cars – car 3 + … +

برای یافتن و از طرفین این تساوی در فاصله ** و انتگرال میگیریم و مییابیم

و..